¿Qué es la propiedad distributiva? ¿Revisaste la definición de propiedad distributiva en la escuela pero aún no estás seguro de qué es o por qué es importante?
La propiedad distributiva es una propiedad matemática clave que necesitará saber para resolver muchos problemas de álgebra. En esta guía, explicamos exactamente qué es la propiedad distributiva, por qué es importante, cuándo debe usarla, qué otras reglas matemáticas debe conocer y también analizamos varios ejemplos para que pueda ver la propiedad distributiva en acción. .
¿Qué es la propiedad distributiva?
La propiedad distributiva, a veces conocida como la propiedad distributiva de la multiplicación, nos dice cómo resolver ciertas expresiones algebraicas que incluyen tanto la multiplicación como la suma. La definición literal de la propiedad distributiva es que multiplicar un número por una suma es lo mismo que hacer cada multiplicación por separado.
En forma de ecuación, la propiedad distributiva se ve así: $a(b+c) = ab + ac$
(Recuerde, en matemáticas, cuando dos números/factores están uno al lado del otro, eso significa multiplicarlos).
Como muchas definiciones matemáticas, la propiedad distributiva es más fácil de entender cuando observa algunos ejemplos. Aquí hay uno simple:
$$5 (2 +7)$$
Normalmente, si tuviera un problema como este, sumaría 2 y 7 para obtener 9, luego multiplicaría 5 por 9 para obtener 45. Esta es la forma más sencilla de resolver la ecuación y también sigue el orden de operaciones, que le dice que primero simplifique lo que esté entre paréntesis antes de pasar a otras operaciones como la multiplicación.
Resolver esa ecuación usando la propiedad distributiva se vería así:
$$5 (2+7)$$
La propiedad distributiva significa hacer la multiplicación antes de la suma entre paréntesis, así que distribuiríamos el 5 a ambos valores entre paréntesis:
$$5(2) + 5(7)$$
Calcula la multiplicación:
$$10 + 35$$
Luego suma los dos números:
$$10+35=45$$
Obtenemos la misma respuesta que obtuvimos al resolver el problema con el primer método, lo que demuestra que la propiedad distributiva funciona.
Ahora, ¿por qué querrías usar la propiedad distributiva cuando tomó más tiempo que el primer método? La propiedad distributiva es útil cuando tienes términos entre paréntesis que no se pueden sumar, como esta ecuación: ${3/4}(a + 2b)$. Debido a que hay variables involucradas, no hay una manera fácil de simplificar $a + 2b$.
En estas ecuaciones más complicadas, la propiedad distributiva puede ayudarnos a poner la ecuación en una forma que haga que sea más fácil de simplificar o resolver. Veremos ejemplos de cómo hacer esto más adelante en esta guía.
3 reglas clave relacionadas con la propiedad distributiva
Cuando usas la propiedad distributiva, a menudo tendrás que usar o conocer otras reglas y propiedades matemáticas para resolver o simplificar las ecuaciones. Aquí hay tres de los más importantes que debe saber.
leyes conmutativas
Las leyes conmutativas establecen que puede intercambiar números al sumar o multiplicar y aun así obtener la misma respuesta.
Entonces $x + y = y + x$ y $x(y) = y(x)$
Es probable que ahora te resulten intuitivos, pero son una parte importante de la propiedad distributiva, que no funcionaría sin ellos. Puede usarlos cuando necesite ayuda para simplificar ciertas ecuaciones a fin de convertirlas en una forma más viable.
Orden de operaciones
Cuando tiene una ecuación complicada que parece que se puede simplificar de varias maneras, el orden de las operaciones le brinda la forma correcta de resolver esas operaciones. El acrónimo PEMDAS facilita recordar en qué operaciones trabajar primero. De primero a último, este es el orden en el que debe trabajar las operaciones:
Paréntesis
Exponentes
Multiplicación y División (haz esto al mismo tiempo, trabajando de izquierda a derecha)
Suma y resta (haz esto al mismo tiempo, trabajando de izquierda a derecha)
Es importante saber el orden de las operaciones porque a menudo tendrás que recordarlo cuando simplifiques ecuaciones que incluyen muchas operaciones diferentes. También puede ayudarte a determinar si usar la propiedad distributiva o no. El orden de las operaciones establece que el primer paso que debe tomar al simplificar una ecuación es calcular lo que está entre paréntesis, pero si lo que está entre paréntesis no se puede simplificar, eso es una señal para usar la propiedad distributiva.
Fórmula cuadrática
La fórmula cuadrática establece que, para $ax^2+ bx + c = 0$, los valores de $x$ que son las soluciones de la ecuación están dados por:
$$x={-b±√{b^2-4ac}}/{2a}$$
Al usar la propiedad distributiva, usted puede ser capaz de simplificar algunas ecuaciones en el $ax^2 + bx + c = 0$ para que puedas usar la ecuación cuadrática para resolver $bi x$.
Propiedad distributiva de problemas de ejemplo de multiplicación
En esta sección repasamos tres ejemplos de problemas de simplificación usando la propiedad distributiva. Notarás que cada uno de ellos contiene variables entre paréntesis, lo cual es una señal clave de que se necesita la propiedad distributiva.
Ejemplo 1
$$bo4bi x(bo5bi x + bo6) = -bo7$$
Primero, vamos a distribuir $4x$ tanto a $5x$ como a 6.
$$4x(5x) + 4x(6) = -7$$
Ahora, multiplícalos:
$$20x^2+ 24x = 7$$
Suma 7 a ambos lados:
$$20x^2+ 24x +7 = 0$$
Esta ecuación ahora está en la fórmula adecuada para resolver $x$ usando la fórmula cuadrática (x sería igual a $-0.7$ y $-0.5$), o podrías mantener la ecuación en esa forma si solo estuvieras pidió simplificarlo.
Ejemplo 2
$$bo3bi x(bi x-bo4) + bo5(bo4bi x + bo6)$$
Para esta ecuación, hay dos conjuntos de paréntesis, por lo que debemos usar la propiedad distributiva dos veces. Distribuya el 3x a su conjunto de paréntesis y el 5x a su conjunto de paréntesis:
$$3x(x) + 3x(-4) + 5(4x) + 5(6)$$
Multiplícalo:
$$3x^2- 12x + 20x^2+ 30$$
Suma los dos términos $x^2$ para simplificar
$$23x^2- 12x + 30$$
Ejemplo 3
$$-bo7(bi x + bo4) + bo8(bo2 – bo4bi x)$$
Este ejemplo es un poco más complicado porque el 7 tiene un signo negativo delante. Cuando el valor justo fuera de los paréntesis es negativo, el signo negativo debe distribuirse a cada término dentro de los paréntesis.
Distribuya el -7 a su conjunto de paréntesis y el 8 a su conjunto de paréntesis:
$$(-7)(x) + (-7)(4) + (8)(2) + (8)(-4x)$$
Multiplique esos:
$$-7x -28 + 16 – 32x$$
Ahora simplifica:
$$-39x – 12$$
Resumen: ¿Cuál es la definición de propiedad distributiva?
¿Qué es la propiedad distributiva? La propiedad distributiva de la multiplicación establece que $a(b+c) = ab + ac$. A menudo se usa para ecuaciones cuando los términos entre paréntesis no se pueden simplificar porque contienen una o más variables. Usando la propiedad distributiva, puede simplificar o resolver ecuaciones con las que de otro modo sería difícil trabajar.
Cuando uses la propiedad distributiva, recuerda distribuir los signos negativos si están delante de los paréntesis y ten en cuenta otras reglas matemáticas importantes, como la fórmula cuadrática, el orden de las operaciones y las propiedades conmutativas.
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