Una vez que tenga la fórmula cuadrática y los conceptos básicos de las ecuaciones cuadráticas, es hora de pasar al siguiente nivel de su relación con las parábolas: aprender sobre sus forma de vértice .
Siga leyendo para aprender más sobre la forma de vértice de la parábola y cómo convertir una ecuación cuadrática de la forma estándar a la forma de vértice.
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¿Por qué es útil la forma de vértice? Una descripción general
El forma de vértice de una ecuación es una forma alternativa de escribir la ecuación de una parábola.
Normalmente, verá una ecuación cuadrática escrita como $ ax ^ 2 + bx + c $, que, cuando se grafica, será una parábola. A partir de esta forma, es bastante fácil encontrar las raíces de la ecuación (donde la parábola llega al eje $ x $) estableciendo la ecuación igual a cero (o usando la fórmula cuadrática).
Sin embargo, si necesita encontrar el vértice de una parábola, la forma cuadrática estándar es mucho menos útil. En su lugar, querrá convertir su ecuación cuadrática en forma de vértice.
¿Qué es la forma de vértice?
Mientras que la forma cuadrática estándar es $ ax ^ 2 + bx + c = y $, la forma de vértice de una ecuación cuadrática es $ bi y = bi a ( bi x- bi h) ^ 2 + bi k $.
En ambas formas, $ y $ es la coordenada $ y $, $ x $ es la coordenada $ x $ y $ a $ es la constante que indica si la parábola está hacia arriba ($ + a $) o hacia abajo ($ -a $). (Pienso en ello como si la parábola fuera un tazón de puré de manzana; si hay un $ + un $, puedo agregar puré de manzana al tazón; si hay un $ -a $, puedo sacudir el puré de manzana del tazón).
La diferencia entre la forma estándar de una parábola y la forma de vértice es que la forma de vértice de la ecuación también le da el vértice de la parábola: $ (h, k) $.
Por ejemplo, observe esta fina parábola, $ y = 3 (x + 4/3) ^ 2-2 $:
Según la gráfica, el vértice de la parábola parece ser algo así como (-1.5, -2), pero es difícil saber exactamente dónde está el vértice solo a partir de la gráfica. Afortunadamente, según la ecuación $ y = 3 (x + 4/3) ^ 2-2 $, sabemos que el vértice de esta parábola es $ (- 4/3, -2) $.
¿Por qué el vértice es $ (- 4/3, -2) $ y no $ (4/3, -2) $ (aparte del gráfico, que deja en claro tanto las coordenadas $ x $ – como $ y $ – de los vértices son negativos)?
Recordar: en la ecuación en forma de vértice, $ h $ se resta y $ k $ se suma . Si tiene $ h $ negativos o $ k $ negativos, deberá asegurarse de restar los $ h $ negativos y sumar los $ k $ negativos.
En este caso, esto significa:
$ y = 3 (x + 4/3) ^ 2-2 = 3 (x – (- 4/3)) ^ 2 + (- 2) $
y entonces el vértice es $ (- 4/3, -2) $.
Siempre debe verificar sus signos positivos y negativos al escribir una parábola en forma de vértice , particularmente si el vértice no tiene valores positivos de $ x $ y $ y $ (o para ti, cabezas de cuadrante, si no está en el cuadrante I). Esto es similar a la verificación que haría si estuviera resolviendo la fórmula cuadrática ($ x = {- b ± √ {b ^ 2-4ac}} / {2a} $) y necesita asegurarse de mantener su positivo y negativos directamente para sus $ a $ s, $ b $ s y $ c $ s.
A continuación se muestra una tabla con más ejemplos de algunas otras ecuaciones de forma de vértice de parábola, junto con sus vértices. Observe en particular la diferencia en la parte $ (xh) ^ 2 $ de la ecuación de la forma del vértice de la parábola cuando la coordenada $ x $ del vértice es negativa.
Forma de vértice de parábola
Coordenadas de vértice
$ y = 5 (x-4) ^ 2 + 17 $
$ (4,17) $
$ y = 2/3 (x-8) ^ 2-1 / 3 $
$ (8, -1 / 3) $
$ y = 144 (x + 1/2) ^ 2-2 $
$ (- 1/2, -2) $
$ y = 1.8 (x + 2.4) ^ 2 + 2.4 $
$ (- 2.4,2.4) $
Cómo convertir de forma cuadrática estándar a forma de vértice
La mayoría de las veces, cuando se le pide que convierta ecuaciones cuadráticas entre diferentes formas, pasará de la forma estándar ($ ax ^ 2 + bx + c $) a la forma de vértice ($ a (xh) ^ 2 + k $ ).
El proceso de convertir su ecuación de cuadrática estándar a forma de vértice implica realizar una serie de pasos llamados completar el cuadrado. (Para obtener más información sobre cómo completar el cuadrado, asegúrese de leer este artículo).
Veamos un ejemplo de conversión de una ecuación de forma estándar a forma de vértice. Comenzaremos con la ecuación $ y = 7x ^ 2 + 42x-3/14 $.
Lo primero que querrá hacer es mover la constante o el término sin $ x $ o $ x ^ 2 $ al lado. En este caso, nuestra constante es $ -3 / 14 $. (Sabemos que es negativo $ 3/14 $ porque la ecuación cuadrática estándar es $ ax ^ 2 + bx + c $, no $ ax ^ 2 + bx-c $.)
Primero, tomaremos esos $ -3 / 14 $ y lo moveremos al lado izquierdo de la ecuación:
$ y + 3/14 = 7x ^ 2 + 42x $
El siguiente paso es factorizar el 7 (el valor $ a $ en la ecuación) del lado derecho, así:
$ y + 3/14 = 7 (x ^ 2 + 6x) $
¡Estupendo! Esta ecuación se parece mucho más a la forma de vértice, $ y = a (xh) ^ 2 + k $.
En este punto, podría estar pensando: «Todo lo que necesito hacer ahora es mover los $ 3/14 $ al lado derecho de la ecuación, ¿verdad?» Por desgracia, no tan rápido.
Si observa parte de la ecuación dentro del paréntesis, notará un problema: no tiene la forma de $ (xh) ^ 2 $. ¡Hay demasiados $ x $ s! Así que aún no hemos terminado.
Lo que tenemos que hacer ahora es la parte más difícil: completar el cuadrado.
Echemos un vistazo más de cerca a la parte $ x ^ 2 + 6x $ de la ecuación. Para factorizar $ (x ^ 2 + 6x) $ en algo parecido a $ (xh) ^ 2 $, necesitaremos agregar una constante al interior de los paréntesis, y tendremos que recordar para agregar esa constante al otro lado de la ecuación también (ya que la ecuación debe mantenerse equilibrada).
Para configurar esto (y asegurarnos de no olvidarnos de agregar la constante al otro lado de la ecuación), vamos a crear un espacio en blanco donde la constante irá a ambos lados de la ecuación:
$ y + 3/14 + 7 ($ $) = 7 (x ^ 2 + 6x + $ $) $
Tenga en cuenta que en el lado izquierdo de la ecuación, nos aseguramos de incluir nuestro valor $ a $, 7, delante del espacio donde irá nuestra constante; esto se debe a que no solo estamos sumando la constante al lado derecho de la ecuación, sino que estamos multiplicando la constante por lo que esté en el exterior del paréntesis. (Si su valor de $ a $ es 1, no necesita preocuparse por esto).
El siguiente paso es completar el cuadrado. En este caso, el cuadrado que está completando es la ecuación dentro del paréntesis; al agregar una constante, la está convirtiendo en una ecuación que se puede escribir como un cuadrado.
Para calcular esa nueva constante, toma el valor junto a $ x $ (6, en este caso), divídelo por 2 y eleva al cuadrado.
$ (6/2) ^ 2 = (3) ^ 2 = 9 $. La constante es 9.
La razón por la que dividimos el 6 y lo elevamos al cuadrado es que sabemos que en una ecuación de la forma $ (x + p) (x + p) $ (que es a lo que estamos tratando de llegar), $ px + px = 6x $, entonces $ p = 6/2 $; para obtener la constante $ p ^ 2 $, tenemos que tomar $ 6/2 $ (nuestro $ p $) y elevarlo al cuadrado.
Ahora, reemplace el espacio en blanco a cada lado de nuestra ecuación con la constante 9:
$ y + 3/14 + 7 (9) = 7 (x ^ 2 + 6x + 9) $
$ y + 63 {3/14} = 7 (x ^ 2 + 6x + 9) $
Luego, factoriza la ecuación dentro del paréntesis. Como completamos el cuadrado, podrás factorizarlo como $ (x + { some number}) ^ 2 $.
$ y + 63 {3/14} = 7 (x + 3) ^ 2 $
Último paso: mueva el valor que no sea $ y $ del lado izquierdo de la ecuación hacia el lado derecho:
$ y = 7 (x + 3) ^ 2-63 {3/14} $
¡Felicidades! Ha convertido correctamente su ecuación de cuadrática estándar a forma de vértice.
Ahora, la mayoría de los problemas no solo le pedirán que convierta sus ecuaciones de la forma estándar a la forma de vértice; querrán que les des las coordenadas del vértice de la parábola.
Para evitar ser engañado por los cambios de signo, escribamos la ecuación de forma de vértice general directamente encima de la ecuación de forma de vértice que acabamos de calcular:
$ y = a (xh) ^ 2 + k $
$ y = 7 (x + 3) ^ 2-63 {3/14} $
Y luego podemos encontrar fácilmente $ h $ y $ k $:
$ -h = 3 $
$ h = -3 $
$ + k = -63 {3/14} $
El vértice de esta parábola está en las coordenadas $ (- 3, -63 {3/14}) $.
¡Vaya, eso fue un montón de números barajando! Afortunadamente, convertir ecuaciones en la otra dirección (de vértice a forma estándar) es mucho más simple.
Cómo convertir de forma de vértice a forma estándar
Convertir ecuaciones de su forma de vértice a la forma cuadrática regular es un proceso mucho más sencillo: todo lo que necesita hacer es multiplicar la forma de vértice.
Tomemos nuestra ecuación de ejemplo anterior, $ y = 3 (x + 4/3) ^ 2-2 $. Para convertir esto en forma estándar, simplemente expandimos el lado derecho de la ecuación:
$$ y = 3 (x + 4/3) ^ 2-2 $$
$$ y = 3 (x + 4/3) (x + 4/3) -2 $$
$$ y = 3 (x ^ 2 + {8/3} x + 16/9) -2 $$
$$ y = 3x ^ 2 + 8x + {16/3} -2 $$
$$ y = 3x ^ 2 + 8x + {16/3} – {6/3} $$
$$ y = 3x ^ 2 + 8x + 10/3 $$
¡Tada! Ha convertido con éxito $ y = 3 (x + 4/3) ^ 2-2 $ a su forma $ ax ^ 2 + bx + c $.
Práctica de forma de vértice de parábola: preguntas de muestra
Para concluir esta exploración de la forma de vértice, tenemos cuatro ejemplos de problemas y explicaciones. ¡Vea si puede resolver los problemas usted mismo antes de leer las explicaciones!
# 1: ¿Cuál es la forma del vértice de la ecuación cuadrática $ x ^ 2 + 2.6x + 1.2 $?
# 2: Convierta la ecuación $ 7y = 91x ^ 2-112 $ en forma de vértice. ¿Qué es el vértice?
# 3: Dada la ecuación $ y = 2 (x-3/2) ^ 2-9 $, ¿cuáles son las coordenadas $ x $ de donde esta ecuación se cruza con el eje $ x $?
# 4: Encuentra el vértice de la parábola $ y = ({1/9} x-6) (x + 4) $.
Práctica de forma de vértice de parábola: soluciones
# 1: ¿Cuál es la forma de vértice de la ecuación cuadrática $ { bi x ^ 2} + 2.6 bi x + 1.2 $?
Comience separando la variable que no es $ x $ del otro lado de la ecuación:
$ y-1.2 = x ^ 2 + 2.6x $
Dado que nuestro $ a $ (como en $ ax ^ 2 + bx + c $) en la ecuación original es igual a 1, no necesitamos factorizarlo del lado derecho aquí (aunque si lo desea, puede escribir $ y-1.2 = 1 (x ^ 2 + 2.6x) $).
Luego, divida el coeficiente $ x $ (2.6) por 2 y eleve al cuadrado, luego agregue el número resultante a ambos lados de la ecuación:
$ (2.6 / 2) ^ 2 = (1.3) ^ 2 = 1.69 $
$ y-1.2 + 1 (1.69) = 1 (x ^ 2 + 2.6x + 1.69) $
Factoriza el lado derecho de la ecuación dentro del paréntesis:
$ y-1.2 + 1.69 = (x + 1.3) ^ 2 $
Finalmente, combine las constantes en el lado izquierdo de la ecuación, luego muévalas al lado derecho.
$ y-1.2 + 1.69 = (x + 1.3) ^ 2 $
$ y + 0.49 = (x + 1.3) ^ 2 $
Nuestra respuesta es $ y = (x + 1.3) ^ 2-0.49 $.
# 2: Convierta la ecuación $ 7 bi y = 91 bi x ^ 2-112 $ en forma de vértice. ¿Qué es el vértice?
Al convertir una ecuación en forma de vértice, desea que $ y $ tenga un coeficiente de 1, por lo que lo primero que haremos es dividir ambos lados de esta ecuación por 7:
$ 7y = 91x ^ 2-112 $
$ {7y} / 7 = {91x ^ 2} / 7-112 / 7 $
$ y = 13x ^ 2-16 $
A continuación, lleve la constante al lado izquierdo de la ecuación:
$ y + 16 = 13x ^ 2 $
Factoriza el coeficiente del número $ x ^ 2 $ (el $ a $) del lado derecho de la ecuación
$ y + 16 = 13 (x ^ 2) $
Ahora, normalmente tendrías que completar el cuadrado del lado derecho de la ecuación dentro del paréntesis. Sin embargo, $ x ^ 2 $ ya es un cuadrado, por lo que no necesita hacer nada más que mover la constante del lado izquierdo de la ecuación al lado derecho:
$ y = 13 (x ^ 2) -16 $.
Ahora para encontrar el vértice:
$ y = a (xh) ^ 2 + k $
$ y = 13 (x ^ 2) -16 $
$ -h = 0 $, entonces $ h = 0 $
$ + k = -16 $, entonces $ k = -16 $
El vértice de la parábola está en $ (0, -16) $.
# 3: Dada la ecuación $ bi y = 2 ( bi x-3/2) ^ 2-9 $, ¿cuáles son las coordenadas $ bi x $ de donde esta ecuación se cruza con la $ bi x $ -eje?
Debido a que la pregunta le pide que encuentre la (s) intersección (es) $ x $ de la ecuación, el primer paso es establecer $ y = 0 $.
$ y = 0 = 2 (x-3/2) ^ 2-9 $.
Ahora, hay un par de formas de ir desde aquí. La forma disimulada es usar el hecho de que ya hay un cuadrado escrito en la ecuación de la forma de vértice para nuestra ventaja.
Primero, moveremos la constante al lado izquierdo de la ecuación:
$ 0 = 2 (x-3/2) ^ 2-9 $
$ 9 = 2 (x-3/2) ^ 2 $
A continuación, dividiremos ambos lados de la ecuación por 2:
$ 9/2 = (x-3/2) ^ 2 $
Ahora, la parte disimulada. Saca la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación:
$ √ (9/2) = √ {(x-3/2) ^ 2} $
$ ± 3 / {√2} = (x-3/2) $
$ ± {{3√2} / 2} = x- {3/2} $
$ {3√2} / 2 = x- {3/2} $ y $ {- 3√2} / 2 = x- {3/2} $
$ x = 3/2 + {3√2} / 2 $ y $ x = 3 / 2- {3√2} / 2 $
Alternativamente, puede encontrar las raíces de la ecuación convirtiendo primero la ecuación de la forma de vértice a la forma de ecuación cuadrática estándar, luego usando la fórmula cuadrática para resolverla.
Primero, multiplica el lado derecho de la ecuación:
$ 0 = 2 (x- {3/2}) ^ 2-9 $
$ 0 = 2 (x ^ 2- {6/2} x + {9/4}) – 9 $
$ 0 = 2x ^ 2-6x + {9/2} -9 $
Luego, combine los términos semejantes:
$ 0 = 2x ^ 2-6x-9/2 $
En este punto, puede optar por intentar calcular la factorización usted mismo mediante prueba y error o introducir la ecuación en la fórmula cuadrática. Si veo un coeficiente al lado de $ x ^ 2 $, generalmente utilizo el cuadrático por defecto …