Si estás tomando una clase de geometría o trigonometría, uno de los temas que estudiarás son las identidades trigonométricas. Existen numerosas identidades trigonométricas, algunas de las cuales son clave para que las conozcas y otras que usarás rara vez o nunca. Esta guía explica las identidades trigonométricas que debería haber memorizado, así como otras que debería conocer. También explicamos qué son las identidades trigonométricas y cómo puede verificarlas.
En matemáticas, una «identidad» es una ecuación que siempre es cierta, todas las veces. Las identidades trigonométricas son ecuaciones trigonométricas que siempre son verdaderas y, a menudo, se usan para resolver problemas de trigonometría y geometría y comprender diversas propiedades matemáticas. Conocer las identidades trigonométricas clave lo ayuda a recordar y comprender principios matemáticos importantes y resolver numerosos problemas matemáticos.
Las 25 identidades trigonométricas más importantes
A continuación hay seis categorías de identidades trigonométricas que verá con frecuencia. Cada uno de estos es una identidad trigonométrica clave y debe memorizarse. Al principio parece mucho, pero una vez que empieces a estudiarlos, verás que muchos siguen patrones que los hacen más fáciles de recordar.
Identidades Básicas
Estas identidades definen las seis funciones trigonométricas.
$$sen(θ) = 1/{csc(θ)}$$
$$cos(θ) = 1/{seg(θ)}$$
$$tan(θ) = 1/{cot(θ)} = {sen(θ)}/{cos(θ)}$$
$$csc(θ) = 1/{sen(θ)}$$
$$seg(θ) = 1/{cos(θ)}$$
$$cot(θ) = 1/{tan(θ)} = {cos(θ)}/{sin(θ)}$$
Identidades pitagóricas
Estas identidades son la prueba trigonométrica del teorema de Pitágoras (que el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, o $a^2 + b^2 = c^2$) . La primera ecuación a continuación es la más importante que debe conocer, y la verá a menudo cuando use identidades trigonométricas.
$$sen^2(θ) + cos^2(θ) = 1$$
$$bronceado^2(θ) + 1 = segundo^2(θ)$$
$$1 + cuna^2(θ) = csc^2(θ)$$
Identidades co-funcionales
Cada una de las funciones trigonométricas es igual a su cofunción evaluada en el ángulo complementario.
$$sen(θ) = cos({π/2} – θ)$$
$$cos(θ) = sin({π/2} – θ)$$
$$bronceado(θ) = cuna({π/2} – θ)$$
$$cot(θ) = tan({π/2} – θ)$$
$$csc(θ) = seg({π/2} – θ)$$
$$seg(θ) = csc({π/2} – θ)$$
Identidades de ángulo negativo
El seno, la tangente, la cotangente y la cosecante son funciones impares (simétricas con respecto al origen). El coseno y la secante son funciones pares (simétricas con respecto al eje y).
$$sen(-θ) = -sen(θ)$$
$$cos(-θ) = cos(θ)$$
$$bronceado(-θ) = -bronceado(θ)$$
Identidades de suma y diferencia
Estas a veces se conocen como las Identidades de Ptolomeo, ya que él fue quien las probó por primera vez.
$$sen(α + β) = sen(α)cos(β) + cos(α)sen(β)$$
$$sen(α – β) = sen(α)cos(β) – cos(α)sen(β)$$
$$cos(α + β) = cos(α)cos(β) – sin(α)sin(β)$$
$$cos(α – β) = cos(α)cos(β) + sin(α)sin(β)$$
Identidades de doble ángulo
Solo necesitas memorizar una de las identidades de doble ángulo para el coseno. Los otros dos se pueden derivar del teorema de Pitágoras usando la identidad $sin^2(θ) + cos^2(θ) = 1$ para convertir una identidad de coseno en las otras.
$$sen(2θ) = 2 sen(θ) cos(θ)$$
$$cos(2θ) = cos^2(θ) – sen^2(θ) = 1 – 2 sen^2(θ) = 2 cos^2(θ) – 1$$
$$bronceado(2θ)={2 bronceado(θ)}/{1– bronceado^2(θ)}$$
Identidades trigonométricas adicionales
Estas tres categorías de identidades trigonométricas se usan con menos frecuencia. Debe revisarlos para asegurarse de que los comprende, pero por lo general, no es necesario memorizarlos.
Identidades de medio ángulo
Estas son inversiones de las identidades de doble ángulo.
$$sen2(θ) = {1/2}(1-cos (2θ))$$
$$cos2(θ) = {1/2}(1+ coseno (2θ))$$
$$tan2(θ) = {1-cos(2θ)}/{1+ coseno (2θ)}$$
Identidades de suma
Estas identidades trigonométricas te permiten cambiar una suma o diferencia de senos o cosenos en un producto de senos y cosenos.
$$sin(α) + sin(β)= 2sin({α + β}/ 2) cos({α – β}/ 2)$$
$$sin(α) – sin(β)= 2cos({α + β}/ 2) sin({α – β}/ 2)$$
$$cos(α) + cos(β)= 2cos({α + β} / 2) cos({α – β}/ 2)$$
$$cos(α) – cos(β)= -2sin ({α + β}/ 2) sin({α – β}/ 2)$$
Identidades de productos
Este grupo de identidades trigonométricas le permite cambiar un producto de senos o cosenos en un producto o diferencia de senos y cosenos.
$$sin(α) cos(β)= {1/2}(sin (α + β) + sin (α – β))$$
$$cos(α) sin(β)= {1/2}(sin (α + β) – sin (α – β))$$
$$sin(α) sin(β)= {1/2}(cos (α – β) – cos(α + β))$$
$$cos(α) cos(β)= {1/2}(cos(α – β) + cos(α + β))$$
Verificación de identidades trigonométricas
Una vez que haya repasado todas las identidades trigonométricas clave en su clase de matemáticas, el siguiente paso será verificarlas. Verificar identidades trigonométricas significa hacer que dos lados de una ecuación dada sean idénticos entre sí para probar que es verdadera. Usará identidades trigonométricas para alterar uno o ambos lados de la ecuación hasta que sean iguales.
La verificación de identidades trigonométricas puede requerir muchas técnicas matemáticas diferentes, que incluyen FOIL, distribución, sustituciones y conjugaciones. Cada ecuación requerirá diferentes técnicas, pero hay algunos consejos para tener en cuenta al verificar identidades trigonométricas.
#1: Comience con el lado más difícil
A pesar de lo que inicialmente desee hacer, recomendamos comenzar con el lado de la ecuación que parece más complicado o más difícil. Las ecuaciones que parecen complicadas a menudo le brindan más posibilidades para probar que las ecuaciones más simples, así que comience con el lado más complicado para que tenga más opciones.
#2: Recuerda que puedes cambiar ambos lados
No es necesario que te limites a cambiar solo un lado de la ecuación. Si te quedas atascado en un lado, puedes cambiar al otro lado y comenzar a cambiarlo también. Ninguno de los lados de la ecuación necesita ser igual a como era originalmente; mientras ambos lados de la ecuación terminen siendo idénticos, la identidad ha sido verificada.
#3: Convierte todas las funciones en senos y cosenos
La mayoría de los estudiantes que aprenden identidades trigonométricas se sienten más cómodos con senos y cosenos porque esas son las funciones trigonométricas que más ven. ¡Facilítese las cosas convirtiendo todas las funciones a senos y cosenos!
Ejemplo 1
Verificar la identidad $cos(θ)seg(θ) = 1$
Cambiemos esa secante a un coseno. Usando identidades básicas, sabemos $sec(θ) = 1/{cos(θ)}$. Eso nos da:
$$cos(θ) (1/{cos(θ)}) = 1$$
Los cosenos de la izquierda se anulan entre sí, dejándonos con $1=1$.
¡Identidad verificada!
Ejemplo 2
Verificar la identidad $1 − cos(2θ) = tan(θ) sin(2θ)$
Comencemos con el lado izquierdo ya que tiene más cosas que hacer. Usando identidades trigonométricas básicas, sabemos que tan(θ) se puede convertir en sen(θ)/ cos(θ), lo que hace que todo sea seno y coseno.
$$1 − cos(2θ) = ({sen(θ)}/{cos(θ)}) sen(2θ)$$
Distribuye el lado derecho de la ecuación:
$$1 − cos(2θ) = 2sen^2(θ)$$
No hay pasos más obvios que podamos tomar para transformar el lado derecho de la ecuación, así que pasemos al lado izquierdo. Podemos usar la identidad de Pitágoras para convertir $cos(2θ)$ a $1 – 2sin^2(θ)$
$$1 – (1 – 2sen^2(θ)) = 2sen^2(θ)$$
Ahora calcula el lado izquierdo de la ecuación
$$2sen^2(θ) = 2sen^2(θ)$$
¡Los dos lados son idénticos, por lo que se ha verificado la identidad!
Ejemplo 3
Verificar la identidad $seg(-θ) = sec(θ)$
El lado izquierdo de la ecuación es un poco más complicado, así que cambiemos esa secante en un seno o coseno. A partir de las identidades trigonométricas básicas, sabemos que $sec(θ) = 1/{cos(θ)}$, lo que significa que $sec(-θ) = 1/{cos(-θ)}$. Sustituye eso por el lado izquierdo:
$$1/{cos(-θ)} = segundo(θ)$$
Las identidades de los ángulos negativos nos dicen que $cos(-θ) = cos(θ)$, así que sustituye:
$$1/{cos(θ)} = segundo(θ)$$
Nuevamente, sabemos que $sec(θ) = 1/{cos(θ)}$, así que terminamos con:
$$seg(θ) = sec(θ)$$
¡Identidad verificada!
Resumen: Solucionador de identidades trigonométricas
Necesitarás tener memorizadas las identidades trigonométricas clave para que te vaya bien en tus clases de geometría o trigonometría. Si bien puede parecer que hay muchas identidades trigonométricas, muchas siguen un patrón similar y no es necesario memorizarlas todas.
Al verificar las identidades trigonométricas, tenga en cuenta los siguientes tres consejos:
Comienza con el lado más complicado Recuerda que puedes cambiar ambos lados de la ecuación Convierte las funciones en senos y cosenos
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