Agudo, obtuso, isósceles, equilátero … Cuando se trata de triángulos, hay muchas variedades diferentes, pero solo unas pocas que son «especiales». Estos triángulos especiales tienen lados y ángulos que son consistentes y predecibles y pueden usarse para atajar su camino a través de sus problemas de geometría o trigonometría. Y un triángulo 30-60-90, pronunciado «treinta sesenta y noventa», resulta ser un tipo de triángulo muy especial.
En esta guía, lo guiaremos a través de lo que es un triángulo 30-60-90, por qué funciona y cuándo (y cómo) usar su conocimiento. ¡Vamos a por ello!
¿Qué es un triángulo 30-60-90?
Un triángulo 30-60-90 es un triángulo rectángulo especial (un triángulo rectángulo es cualquier triángulo que contiene un ángulo de 90 grados) que siempre tiene ángulos de grados de 30 grados, 60 grados y 90 grados. Debido a que es un triángulo especial, también tiene valores de longitud de lado que siempre están en una relación consistente entre sí.
La relación básica del triángulo 30-60-90 es:
Lado opuesto al ángulo de 30 °: $ x $
Lado opuesto al ángulo de 60 °: $ x * √3 $
Lado opuesto al ángulo de 90 °: $ 2x $
Por ejemplo, un triángulo de 30-60-90 grados podría tener longitudes de lado de:
2, 2√3, 4
7, 7√3, 14
√3, 3, 2√3
(¿Por qué el cateto más largo es 3? En este triángulo, el cateto más corto ($ x $) es $ √3 $, por lo que para el cateto más largo, $ x√3 = √3 * √3 = √9 = 3 $. Y la hipotenusa es 2 veces el tramo más corto, o $ 2√3 $)
Y así.
El lado opuesto al ángulo de 30 ° es siempre el más pequeño, porque 30 grados es el ángulo más pequeño. El lado opuesto al ángulo de 60 ° será la longitud media., porque 60 grados es el ángulo de grado medio en este triángulo. Y, finalmente, el lado opuesto al ángulo de 90 ° siempre será el lado más grande (la hipotenusa) porque 90 grados es el ángulo más grande.
Aunque puede parecer similar a otros tipos de triángulos rectángulos, la razón por la que un triángulo 30-60-90 es tan especial es que solo necesitas tres datos para encontrar todas las demás medidas. Siempre que conozca el valor de las medidas de dos ángulos y la longitud de un lado (no importa de qué lado), sabrá todo lo que necesita saber sobre su triángulo.
Por ejemplo, podemos usar la fórmula del triángulo 30-60-90 para completar todos los espacios en blanco de información restantes de los triángulos a continuación.
Ejemplo 1
Podemos ver que este es un triángulo rectángulo en el que la hipotenusa es el doble de la longitud de uno de los catetos. Esto significa que debe ser un triángulo 30-60-90 y el lado más pequeño dado está opuesto al 30 °.
Por lo tanto, el cateto más largo debe estar opuesto al ángulo de 60 ° y medir $ 6 * √3 $, o $ 6√3 $.
Ejemplo 2
Podemos ver que debe ser un triángulo 30-60-90 porque podemos ver que se trata de un triángulo rectángulo con una medida determinada, 30 °. El ángulo sin marcar debe ser entonces de 60 °.
Dado que 18 es la medida opuesta al ángulo de 60 °, debe ser igual a $ x√3 $. El tramo más corto debe medir $ 18 / √3 $.
(Tenga en cuenta que la longitud del cateto será en realidad $ 18 / {√3} * {√3} / {√3} = {18√3} / 3 = 6√3 $ porque un denominador no puede contener un radical / raíz cuadrada).
Y la hipotenusa será $ 2 (18 / √3) $
(Tenga en cuenta que, nuevamente, no puede tener un radical en el denominador, por lo que la respuesta final será realmente 2 veces la longitud del cateto de $ 6√3 $ => $ 12√3 $).
Ejemplo 3
Nuevamente, se nos dan dos medidas de ángulos (90 ° y 60 °), por lo que la tercera medida será 30 °. Debido a que este es un triángulo 30-60-90 y la hipotenusa es 30, el cateto más corto será igual a 15 y el cateto más largo será igual a 15√3.
No es necesario consultar la bola mágica del ocho; estas reglas siempre funcionan.
Por qué funciona: prueba del teorema del triángulo 30-60-90
Pero, ¿por qué este triángulo especial funciona de la forma en que lo hace? ¿Cómo sabemos que estas reglas son legítimas? Veamos exactamente cómo funciona el teorema del triángulo 30-60-90 y demostremos por qué estas longitudes de los lados siempre serán consistentes.
Primero, olvidémonos de los triángulos rectángulos por un segundo y observemos un triángulo equilátero.
Un triángulo equilátero es un triángulo que tiene todos lados iguales y todos ángulos iguales. Debido a que los ángulos interiores de un triángulo siempre suman 180 ° y $ 180/3 = 60 $, un triángulo equilátero siempre tendrá tres ángulos de 60 °.
Ahora bajemos una altura desde el ángulo superior hasta la base del triángulo.
Tenemos ahora creó dos ángulos rectos y dos triángulos congruentes (iguales).
¿Cómo sabemos que son triángulos iguales? Debido a que bajamos una altura de un triángulo equilátero, hemos dividido la base exactamente por la mitad. Los nuevos triángulos también comparten la longitud de un lado (la altura) y cada uno tiene la misma longitud de hipotenusa. Debido a que comparten tres longitudes de lado en común (SSS), esto significa los triángulos son congruentes.
Nota: los dos triángulos no solo son congruentes según los principios de las longitudes lado-lado-lado, o SSS, sino también según las medidas lado-ángulo-lado (SAS), ángulo-ángulo-lado (AAS) y ángulo- ángulo lateral (ASA). ¿Básicamente? Definitivamente son congruentes.
Ahora que hemos probado las congruencias de los dos nuevos triángulos, podemos ver que los ángulos superiores deben ser iguales a 30 grados (porque cada triángulo ya tiene ángulos de 90 ° y 60 ° y debe sumar 180 °). Esto significa hemos hecho dos triángulos 30-60-90.
Y como sabemos que cortamos la base del triángulo equilátero por la mitad, podemos ver que el lado opuesto al ángulo de 30 ° (el lado más corto) de cada uno de nuestros 30-60-90 triángulos es exactamente la mitad de la longitud de la hipotenusa. .
Así que llamemos a nuestra longitud de lado original $ x $ y nuestra longitud dividida en dos $ x / 2 $.
Ahora todo lo que nos queda por hacer es encontrar la longitud del lado medio que comparten los dos triángulos. Para hacer esto, simplemente podemos usar el teorema de Pitágoras.
$ a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 $
$ (x / 2) ^ 2 + b ^ 2 = x ^ 2 $
$ b ^ 2 = x ^ 2 – ({x ^ 2} / 4) $
$ b ^ 2 = {4x ^ 2} / 4 – {x ^ 2} / 4 $
$ b ^ 2 = {3x ^ 2} / 4 $
$ b = {√3x} / 2 $
Así que nos quedamos con: $ x / 2, {x√3} / 2, x $
Ahora multipliquemos cada medida por 2, solo para hacer la vida más fácil y evitar todas las fracciones. De esa manera, nos quedamos con:
$ x $, $ x√3 $, $ 2x $
Por lo tanto, podemos ver que un triángulo 30-60-90 siempre tendrá longitudes de lados consistentes de $ x $, $ x√3 $ y $ 2x $ (o $ x / 2 $, $ {√3x} / 2 $ y $ x $).
Afortunadamente para nosotros, podemos probar que las reglas del triángulo 30-60-90 son verdaderas sin todo … esto.
Cuándo usar las reglas del triángulo 30-60-90
Conocer las reglas del triángulo 30-60-90 podrá ahorrarle tiempo y energía en una multitud de problemas matemáticos diferentes, a saber, una amplia variedad de problemas de geometría y trigonometría.
Geometría
La comprensión adecuada de los triángulos 30-60-90 le permitirá resolver cuestiones de geometría que serían imposibles de resolver sin conocer estas reglas de razón o, al menos, tomaría un tiempo y un esfuerzo considerables para resolver el «camino largo».
Con las proporciones especiales de triángulos, puede averiguar las alturas de los triángulos que faltan o las longitudes de los catetos (sin tener que usar el teorema de Pitágoras), encontrar el área de un triángulo usando la altura faltante o la información de la longitud de la base y calcular rápidamente los perímetros.
Siempre que necesite velocidad para responder una pregunta, recordar atajos como las reglas 30-60-90 será útil.
Trigonometría
Memorizar y comprender la proporción de triángulos 30-60-90 también le permitirá resolver muchos problemas de trigonometría sin la necesidad de una calculadora o la necesidad de aproximar sus respuestas en forma decimal.
Un triángulo 30-60-90 tiene senos, cosenos y tangentes bastante simples para cada ángulo (y estas medidas siempre serán consistentes).
El seno de 30 ° siempre será $ 1/2 $.
El coseno de 60 ° siempre será $ 1/2 $.
Aunque los otros senos, cosenos y tangentes son bastante simples, estos son los dos más fáciles de memorizar y es probable que aparezcan en las pruebas. Por lo tanto, conocer estas reglas le permitirá encontrar estas medidas de trigonometría lo más rápido posible.
Consejos para recordar las reglas 30-60-90
Sabes que estas reglas de proporción 30-60-90 son útiles, pero ¿cómo mantienes la información en tu cabeza? Recordar las reglas del triángulo 30-60-90 es una cuestión de recordar la razón de 1: √3: 2, y saber que la longitud del lado más corto siempre es opuesta al ángulo más corto (30 °) y la longitud del lado más largo siempre es opuesta al ángulo más corto. ángulo más grande (90 °).
Algunas personas memorizan la proporción pensando «$ bi x $, $ bo 2 bi x $, $ bi x bo √ bo3 $,«porque la sucesión» 1, 2, 3 «suele ser fácil de recordar. La única precaución para usar esta técnica es recordar que el lado más largo es en realidad $ 2x $, no $ x $ multiplicado por $ √3 $.
Otra forma de recordar sus proporciones es use un juego de palabras mnemotécnico en la proporción 1: raíz 3: 2 en el orden correcto. Por ejemplo, «Jackie Mitchell ponchó a Lou Gehrig y ‘ganó a Ruthy también'»: uno, raíz tres, dos. (¡Y es un verdadero hecho histórico del béisbol para empezar!)
Juegue con sus propios recursos mnemotécnicos si estos no le atraen: cante la proporción de una canción, encuentre su propia frase de «uno, raíz tres, dos» o cree un poema de proporción. Incluso puedes recordar que un triángulo 30-60-90 es la mitad de un equilátero y calcular las medidas a partir de ahí si no te gusta memorizarlas.
Sin embargo, tiene sentido para usted recordar estas reglas 30-60-90, mantenga esas proporciones en su cabeza para sus futuras preguntas de geometría y trigonometría.
La memorización es tu amiga, sin embargo, puedes hacer que suceda.
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Ejemplo 30-60-90 preguntas
Ahora que hemos visto el cómo y el por qué de los triángulos 30-60-90, trabajemos en algunos problemas de práctica.
Geometría
Un trabajador de la construcción apoya una escalera de 40 pies contra el costado de un edificio en un ángulo de 30 grados sobre el suelo. El suelo está nivelado y el lateral del edificio es perpendicular al suelo. ¿A qué altura del edificio llega la escalera, al pie más cercano?
Sin conocer nuestras reglas especiales de triángulos 30-60-90, tendríamos que usar trigonometría y una calculadora para encontrar la solución a este problema, ya que solo tenemos la medida de un lado de un triángulo. Pero porque sabemos que esta es una especial triángulo, podemos encontrar la respuesta en solo segundos.
Si el edificio y el suelo son perpendiculares entre sí, eso debe significar que el edificio y el suelo forman un ángulo recto (90 °). También es un hecho que la escalera llega al suelo en un ángulo de 30 °. Por lo tanto, podemos ver que el ángulo restante debe ser de 60 °, lo que lo convierte en un triángulo de 30-60-90.
Ahora sabemos que la hipotenusa (lado más largo) de este 30-60-90 es 40 pies, lo que significa que el lado más corto tendrá la mitad de esa longitud. (Recuerde que el lado más largo es siempre dos veces – $ 2x $ – tan largo como el lado más corto). Debido a que el lado más corto es opuesto al ángulo de 30 °, y ese ángulo es la medida en grados de la escalera desde el suelo, eso significa que la parte superior de la escalera golpea el edificio a 20 pies del suelo.
Nuestra respuesta final es 20 pies.
Trigonometría
Si, en un triángulo rectángulo, sin Θ = $ 1/2 $ y la longitud más corta del cateto es 8. ¿Cuál es la longitud del lado faltante que NO es la hipotenusa?
Debido a que conoce sus reglas 30-60-90, puede resolver este problema sin la necesidad del teorema de Pitágoras ni de una calculadora.
Nos dijeron que este es un triángulo rectángulo, y sabemos por nuestras reglas especiales de triángulos rectángulos que el seno 30 ° = $ 1/2 $. Por lo tanto, el ángulo faltante debe ser de 60 grados, lo que lo convierte en un triángulo de 30-60-90.
Y como este es un triángulo 30-60-90, y nos dijeron que el lado más corto es 8, la hipotenusa debe ser 16 y el lado faltante debe ser $ 8 * √3 $, o $ 8√3 $.
Nuestra respuesta final es 8√3.
Los Take Aways
Recordando el Las reglas para 30-60-90 triángulos te ayudarán a resolver una variedad de problemas matemáticos.. Pero tenga en cuenta que, si bien conocer estas reglas es una herramienta útil para tener en cuenta, aún puede resolver la mayoría de los problemas sin ellas.
Mantenga un registro de las reglas …