29 febrero, 2024

FÁCIL Explicación: Todos los factores de 45

¿Cuáles son los factores de 45? 1, 3, 5, 9, 15 y 45.

¿Se pregunta cómo se me ocurrieron esos números? ¡Factorización! Debido a que proporciona una base matemática para sistemas más complicados, aprender a factorizar es clave. Entonces, ya sea que esté estudiando para un examen de álgebra, mejorando para el SAT o ACT, o simplemente quiera actualizar y recordar cómo factorizar números para órdenes superiores de matemáticas, esta es la guía para usted.

¿Qué es el factoring?

Factorizar es el proceso de encontrar cada número entero que se puede multiplicar por otro número entero para igualar un número objetivo. Ambos múltiplos serán factores del número objetivo.

Factorizar números puede parecer una tarea tediosa o una memorización de memoria sin un objetivo final, pero la factorización es una técnica que ayuda a construir la columna vertebral de procesos matemáticos mucho más complejos.

Sin saber cómo factorizar, sería francamente difícil (si no imposible) dar sentido a los polinomios y al cálculo, e incluso haría que tareas simples como dividir un cheque fueran mucho más difíciles de resolver en la cabeza.

¿Cuáles son los factores de 45? Factoring en acción

Este concepto puede ser difícil de visualizar, así que echemos un vistazo a todos los factores de 45 para ver este proceso en acción. Los factores de 45 son los pares de números que equivalen a 45 cuando se multiplican juntos:

1 y 45 (porque 1 * 45 = 45)

3 y 15 (porque 3 * 15 = 45)

5 y 9 (porque 5 * 9 = 45)

Entonces, en forma de lista, los 45 factores son 1, 3, 5, 9, 15 y 45.

Afortunadamente para nosotros, la factorización solo requiere las dos funciones principales en esta imagen (¡yay!)

Factorización prima y factores primos de 45

Un número primo es cualquier número entero mayor que 1 que solo se puede dividir (uniformemente) entre 1 y él mismo. Una lista de los números primos más pequeños son 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 … y así sucesivamente.

La factorización prima significa encontrar los factores de números primos de un número objetivo que, cuando se multiplican, equivalen a ese número objetivo. Entonces, si usamos 45 como nuestro número objetivo, queremos encontrar solo los factores primos de 45 que deben multiplicarse para obtener 45.

Sabemos por la lista de factores de 45 anterior que solo algunos de esos factores (3 y 5) son números primos. Pero también sabemos que 3 * 5 no no igual a 45. Entonces 3 * 5 es una factorización prima incompleta.

La forma más sencilla de encontrar un completo La factorización prima de cualquier número objetivo dado es usar lo que es esencialmente una división «al revés» y dividir solo por el número primo más pequeño que pueda caber en cada resultado.

Por ejemplo:

Divida el número objetivo (45) por el número primo más pequeño que pueda factorizarlo. En este caso, es 3.

Terminamos con 15. Ahora divida 15 por el número primo más pequeño que pueda factorizar. En este caso, vuelve a ser 3.

Terminamos con un resultado de 5. Ahora divida 5 por el número primo más pequeño que pueda factorizar en él. En este caso, son 5.

Esto nos deja con 1, así que terminamos.

La factorización prima será todo el número del «exterior» multiplicado. Cuando se multiplican, el resultado será 45 (Nota: no incluimos el 1, porque 1 no es un número primo).

Nuestra factorización prima final de 45 es 3 * 3 * 5.

Un tipo diferente de Prime.

Averiguar los factores de cualquier número

Al averiguar los factores, la forma más rápida es encontrar pares de factores como hicimos anteriormente para todos los factores de 45. Al encontrar los pares, reduce su trabajo a la mitad, ya que está encontrando los factores más pequeños y más grandes al mismo tiempo.

Ahora, la forma más rápida de averiguar todos los pares de factores que necesitará para factorizar el número objetivo es encontrar la raíz sobrante del número objetivo (o raíz cuadrada y redondear al número entero más cercano) y usar ese número como su punto de parada para encontrar pequeños factores.

¿Por qué? Porque ya habrás encontrado todos los factores más grandes que el cuadrado al encontrar los pares de factores de factores más pequeños. Y solo repetirá esos factores si continúa tratando de encontrar factores más grandes que la raíz cuadrada.

¡No se preocupe si esto suena confuso en este momento! Trabajaremos con un ejemplo para mostrarle cómo puede evitar perder el tiempo buscando los mismos factores nuevamente.

Entonces, veamos el método en acción para encontrar todos los factores de 64:

Primero, saquemos la raíz cuadrada de 64.

√64 = 8

Ahora solo sabemos que debemos centrarnos en los números enteros del 1 al 8 para encontrar la primera mitad de todos nuestros pares de factores.

# 1: Nuestro primer par de factores será 1 y 64

# 2: 64 es un número par, por lo que nuestro próximo par de factores será 2 y 32.

# 3: 64 no se puede dividir uniformemente por 3, por lo que 3 NO es un factor.

# 4: 64/4 = 16, por lo que nuestro próximo par de factores será 4 y 16.

# 5:64 no es divisible por 5, por lo que 5 NO es un factor de 64.

# 6: 6 no va uniformemente en 64, por lo que 6 NO es un factor de 64.

# 7: 7 no va uniformemente en 64, por lo que 7 NO es un factor de 64.

# 8: 8 * 8 (8 al cuadrado) es igual a 64, por lo que 8 es un factor de 64.

Y podemos detenernos aquí, porque 8 es la raíz cuadrada de 64. Si siguiéramos tratando de encontrar factores, solo repetiríamos los números más grandes de nuestros pares de factores anteriores (16, 32, 64).

Nuestra lista final de factores de 64 es 1, 2, 4, 8, 16, 32 y 64.

Los factores (como los patitos) siempre son mejores en parejas.

Atajos de búsqueda de factores

Ahora veamos cómo podemos encontrar rápidamente los factores más pequeños (y por lo tanto los pares de factores) de un número objetivo. A continuación, describí algunos trucos útiles para saber si los números del 1 al 11 son factores de un número determinado.

1) Siempre que desee factorizar un número, siempre puede comenzar inmediatamente con dos factores: 1 y el número objetivo (por ejemplo, 1 y 45, si está factorizando 45). Cualquier número (que no sea 0) siempre se puede multiplicar por 1 para ser igual a sí mismo, por lo que 1 siempre será un factor.

2) Si el número objetivo es par, sus siguientes factores serán 2 y la mitad del número objetivo. Si el número es impar, automáticamente sabrá que no se puede dividir uniformemente por 2, por lo que 2 NO será un factor. (De hecho, si el número objetivo es impar, no tendrá factores de NINGÚN número par).

3) Una forma rápida de averiguar si un número es divisible por 3 es sumar los dígitos del número objetivo. Si 3 es un factor de la suma de dígitos, entonces 3 también es un factor del número objetivo.

Por ejemplo, digamos que nuestro número objetivo es 117 y debemos factorizarlo. Podemos averiguar si 3 es un factor sumando los dígitos del número objetivo (117) juntos:

1 + 1 + 7 = 9

3 se puede multiplicar por 3 para que sea igual a 9, por lo que 3 podrá integrarse uniformemente en 117.

117/3 = 39

3 y 39 son factores de 117.

4) Un número objetivo solo tendrá un factor de 4 si ese número objetivo es par. Si es así, puede averiguar si 4 es un factor observando el resultado de un par de factores anterior. Si, al dividir un número objetivo por 2, el resultado sigue siendo par, el número objetivo también será divisible por 4. De lo contrario, el número objetivo NO tendrá un factor de 4.

Por ejemplo:

18/2 = 9. 18 NO es divisible entre 4 porque 9 es un número impar.

56/2 = 28. 56 ES divisible por 4 porque 28 es un número par.

5) 5 será un factor de todos y cada uno de los números que terminan en los dígitos 5 o 0. Si el objetivo termina en cualquier otro número, no tendrá un factor de 5.

6) 6 siempre será un factor de un número objetivo si el número objetivo tiene factores de AMBOS 2 y 3. De lo contrario, 6 no será un factor.

7) Desafortunadamente, no hay atajos para saber si 7 es un factor de un número que no sea recordar los múltiplos de 7.

8) Si el objetivo El número NO tiene factores de 2 y 4, tampoco tendrá un factor de 8. Si tiene factores de 2 y 4, es posible que tenga un factor de 8, pero tendrá que dividir para ver (desafortunadamente, no hay un truco más allá de eso y recordar los múltiplos de 8).

9) Puedes averiguar si 9 es un factor por sumando los dígitos del número objetivo juntos. Si suman un múltiplo de 9, entonces el número objetivo tiene 9 como factor.

Por ejemplo:

42 → 4 + 2 = 6. 6 NO es divisible por 9, por lo que 9 NO es un factor de 42.

72 → 7 + 2 = 9. 9 ES divisible por 9 (¡obviamente!), Por lo que 9 es un factor de 72.

10) Si un objetivo el número termina en 0, entonces siempre tendrá un factor de 10. Si no, 10 no será un factor.

11) Si un número objetivo es un número de dos dígitos con ambos dígitos repetidos (22, 33, 66, 77…), entonces tendrá 11 como factor. Si es un número de tres dígitos o más, simplemente tendrá que probar si es divisible por 11 usted mismo.

12+) En este punto, probablemente ya haya encontrado sus números más grandes como 12 y 13 y 14 al encontrar sus factores más pequeños y hacer pares de factores. De lo contrario, tendrá que probarlos manualmente dividiéndolos en su número objetivo.

Aprender sus técnicas de factorización rápida permitirá que todas esas piezas molestas encajen en su lugar.

Consejos para recordar 45 factores

Si su objetivo es recordar todos los factores de 45, siempre puede utilizar las técnicas anteriores para encontrar pares de factores.

La raíz cuadrada de 45 está entre 6 y 7 (6 ^ 2 = 36 y 7 ^ 2 = 49). Redondea hacia abajo a 6, que será el número pequeño más grande que necesitas probar.

Sabes que el primer par será automáticamente 1 y 45. También sabes que 2, 4 y 6 no serán factores, porque 45 es un número impar.

4 + 5 = 9, por lo que 3 será un factor (al igual que 15, porque 45/3 = 15).

Y finalmente, 45 termina en 5, por lo que 5 será un factor (al igual que 9, porque 45/5 = 9).

Esto demuestra que siempre puede averiguar los factores de 45 extremadamente rápido, incluso si no ha memorizado los números exactos de la lista.

O, si prefiere memorizar los 45 factores específicamente, puede recordar eso, para factorizar 45, todo lo que necesitas son los tres números impares más pequeños (1, 3, 5). Ahora solo combínalos con sus múltiplos correspondientes para obtener 45 (45, 15, 9).

Conclusión: por qué es importante factorizar

La factorización proporciona la base de formas superiores de pensamiento matemático, por lo que aprender a factorizar le servirá tanto en sus esfuerzos matemáticos actuales como futuros.

Ya sea que esté aprendiendo por primera vez o simplemente se esté tomando el tiempo para actualizar su conocimiento de los factores, seguir los pasos para comprender estos procesos (¡y conocer los trucos para obtener sus factores de manera más eficiente!) Lo ayudará a llegar a donde desea. estar en tu vida matemática.

¡Feliz Factoring!

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