28 mayo, 2022

Ecuaciones de variable única en álgebra: estrategias matemáticas de ACT

Las ecuaciones de una sola variable son algunos de los tipos de problemas más comunes en la sección de matemáticas de ACT. Debe saber cómo configurar, usar y manipular este tipo de ecuaciones, ya que son un elemento fundamental de las matemáticas en el que se basan expresiones más complicadas (variables múltiples, cuadráticas, etc.).

Así que asegúrate de estar preparado para abordar los entresijos de las ecuaciones de una sola variable (sin importar cómo se presenten en el ACT), antes de asumir algunos de los elementos más complicados de las matemáticas del ACT.

Esta guía será su recorrido completo de ecuaciones de una sola variable para el ACT–qué son, cómo los verá en la prueba y cómo configurarlos y resolverlos.


Y el misterio se revela.

¿Qué son las ecuaciones de una sola variable?

Para comprender una ecuación de una sola variable, dividámosla en sus dos componentes: la variable y la ecuación.

Una variable es un marcador de posición simbólico para un número que aún no conocemos. Es muy común ver que $x$ o $y$ se usen como variables en problemas matemáticos, pero las variables se pueden representar con cualquier símbolo o letra.

$x + 4 = 14$

En este caso, $x$ es nuestra variable. Representa un número que actualmente se desconoce.


Una ecuación establece dos expresiones matemáticas iguales entre sí. Esta igualdad se representa con un signo igual (=) y cada lado de la expresión puede ser tan simple como un solo número entero o tan complejo como una expresión con múltiples variables, exponentes o cualquier otra cosa.

$({x +y^2})/14 – 65(x – 3) = 2$

Lo anterior es un ejemplo de una ecuación. Cada lado de la expresión es igual al otro.

Entonces, si juntamos nuestras definiciones, sabemos que:


Una ecuación de una sola variable es una ecuación en la que sólo hay una variable utilizada. (Nota: la variable puede usarse varias veces y/o usarse en cualquier lado de la ecuación; todo lo que importa es que la variable permanezca igual).

${(x + 4)}/2 = 12$

$6x + 3 – 2x = 19$

$4y – 2 = y + 7$

Todos estos son ejemplos de ecuaciones de una sola variable. Puede ver cómo algunas expresiones usaron la variable varias veces o usaron la variable en ambos expresiones (a ambos lados del signo igual).

No importa cuántas veces se use la variable, estos aún cuentan como problemas de una sola variable porque la variable permanece constante y no hay otras variables.

Encontrar la variable que falta es como encontrar la última pieza faltante del rompecabezas.

Ecuaciones típicas de una sola variable en el ACT

Las ecuaciones de una sola variable se clasificarán en dos categorías amplias en el ACT: ecuaciones dadas y problemas escritos. Veamos cada tipo.


Ecuaciones dadas

Una ecuación dada te proporcionará la ecuación que necesitas usar para resolver el problema. Veremos los procesos exactos necesarios para resolver este tipo de problema en la siguiente sección, pero por ahora solo comprenda que su objetivo es aislar su variable.

(Veremos cómo resolver esta pregunta más adelante en la guía)

Como puede ver en este problema, la variable aislada puede que no sea tu respuesta final. A veces, la pregunta le pedirá que resuelva $x$, a veces la pregunta le pedirá que resuelva $x$ a un término diferente (como en este caso, donde le piden que encuentre $2x$).

Siempre preste mucha atención a exactamente lo que la pregunta te pide que encuentres! Primero debe aislar su $x$ para resolver el problema, pero si se detiene allí, la respuesta final será incorrecta.


Problemas de palabras

Un problema verbal describe una escena en la que debes establecer tu propia ecuación de variable única para resolverla. Nuevamente, su respuesta final puede ser el valor de su variable ($x$ o $y$, etc.) o su variable llevada a un término diferente ($2x$, $y/2$, etc.).

(Veremos cómo resolver esta pregunta más adelante en la guía)


Cómo manipular una ecuación de una sola variable

Para resolver una ecuación de una sola variable, debemos aislar nuestra variable en un lado de la ecuación. Y la forma en que hacemos esto es cambiando el resto de nuestros términos a la otro lado de la ecuación.

Para cambiar nuestros términos (números), debemos cancelarlos en su lado original realizando la función opuesta del término.

Los pares de funciones opuestas son:

Adición y sustracción

Multiplicación y división


Entonces, si tenemos un término en un lado que tiene un signo más (suma), debemos sustraer esa misma cantidad de ambos lados.

$x + 2 = 6$

$x + 2 – 2 = 6 – 2$

$x = 4$

Si tenemos un término que se multiplica, debemos dividir esa misma cantidad de ambos lados.

$3x = 18$

${3x}/3 = 18/3$

$x = 6$

Y así.


Cualquier cosa que hagas en un lado de la ecuación, debes hacerlo en el otro. Esto cancela los términos similares y esencialmente mueve los términos de un lado de la ecuación al otro.

Las ecuaciones de una sola variable tienen que ver con mantener el equilibrio.

Pasos para resolver un problema de una sola variable

Tomemos una expresión variable típica y dividámosla en los pasos necesarios para resolverla.

$3 años – 10 + 2 años = 15 $. Encuentra $y$.


1) Combinar términos semejantes

Si hay más de un término con una misma variable, debemos combinarlos para finalmente aislar esa variable. Podemos sumar o restar términos con una misma variable de la misma manera que cualquier otro número.

Aquí tenemos $3y$ y $2y$. Ambos son positivos, así que los sumamos.

Así que ahora nuestra ecuación se ve así:


2) Aislar el término con tu variable

Una vez que hayamos combinado nuestras variables, debemos aislar el término de la variable. Si el término es simplemente la variable en sí (por ejemplo, $y$), entonces podemos omitir este paso. Pero como nuestro término ella es $5y$, primero debemos aislar todo el término.

Así que debemos sumar 10 a cada lado de nuestra ecuación. ¿Por qué? Porque tenemos un 10 negativo y la suma es lo opuesto a la resta. Y debemos hacerlo a ambos lados para cancelar el 10 en la primera expresión para aislar nuestra variable.

$5y – 10 + 10 = 15 + 10$

$5 años = 25$


3) Aísla tu variable

Ahora que hemos aislado nuestro término ($5y$), podemos aislar aún más la variable en sí.

Nuevamente, realizamos una función opuesta del término. En este caso, tenemos $5y$, que utiliza la multiplicación. Por lo tanto, para aislar la variable, debemos usar la división (lo opuesto a la multiplicación) dividiendo en ambos lados.

$5 años = 25$

${5y}/5 = 25/5$

$y = 5$


4) Vuelva a verificar su variable volviendo a conectarla

Ahora que hemos resuelto nuestra variable, verifiquemos para asegurarnos de que sea correcta volviendo a insertarla en la ecuación original.

$y = 5$

$3 años – 10 + 2 años = 15 $

$3(5) – 10 + 2(5) = 15$

$15 – 10 + 10 = 15$

$15 = 15$

¡Éxito! Hemos aislado correctamente la variable y encontrado su valor.


5) Y, por último, ¡comprueba dos veces para asegurarte de que estás respondiendo la pregunta correcta!

En este caso, hemos terminado, porque nuestra pregunta inicial nos pedía encontrar el valor de $y$. Pero siempre debe verificar dos veces para asegurarse de que está respondiendo la pregunta correcta. Si nos hubieran preguntado el valor de $5y$ o $y/3$, habríamos obtenido una respuesta incorrecta si nos hubiéramos detenido aquí en $y = 5$.

Siempre verifique dos veces que su variable sea correcta y que esté respondiendo la pregunta que la prueba le pide que responda.


Ahora intentémoslo de nuevo con nuestro problema de antes:

Tenemos $7 + 3x = 22$ y debemos aislar nuestra variable para finalmente encontrar $2x$

Paso 1, combina términos semejantes:

No hay términos similares para combinar, así que podemos saltarnos el paso 1.


Paso 2, aislar el término variable:

$7 + 3x = 22$

$7 – 7 + 3x = 22 – 7$

$3x = 15$


Paso 3, aislar la variable:

$3x = 15$

${3x}/3 = 15/3$

$x = 5$


Paso 4, verifique dos veces la respuesta:

$7 + 3(5) = 22$

$7 + 15 = 22$

$22 = 22$


Éxito. ¡Pero espera! Aún no hemos terminado.


Paso 5, mira lo que hace la pregunta final:

Debemos terminar la pregunta encontrando $2x$

$x = 5$

$2(5) = 10$

Entonces nuestra respuesta final es G, $2x = 10$


Puede parecer que realizar una ecuación de una sola variable requiere muchos pasos, pero cuanto más practiques, más fácil e instintivo se volverá este proceso.

Prueba tus conocimientos


Respuestas: C, G, B, G, E


Respuesta Explicaciones:

1) La Sra. Lewis comienza manejando 900 millas a 50 millas por hora y queremos saber cuánto más rápido debe ir para viajar la misma cantidad de millas en tres horas menos. Debido a que ella maneja la misma cantidad, podemos igualar estos términos.

También estamos trabajando solo con la variable de millas por hora, por lo que esta es una ecuación de una sola variable.

Ahora, los dos lados de la ecuación se ocupan de millas y millas por hora. La primera mitad de nuestra ecuación se verá así:

$(900/50) – 3$

¿Por qué? Debido a que la Sra. Lewis está manejando 900 millas a 50 millas por hora, necesitamos dividir las millas por mph para saber su tiempo de viaje. Y entonces debemos reducir esa cantidad en 3 porque se nos dice que su nuevo tiempo de viaje será 3 millas menos que eso.

Esto significa que la otra mitad de nuestra ecuación se verá así:

$900/x$

¿Por qué? Porque sabemos que la cantidad de millas que manejará será la misma, pero nuestra incógnita son sus millas por hora.

Ahora vamos a juntarlos y resolver nuestra variable.

$(900/50) – 3 = 900/x$

$18 – 3 = 900/x$

$15 = 900/x$

Ahora debemos aislar nuestro valor de $x$. Como actúa como denominador, debemos multiplicar ambos lados de la ecuación por $x$.

$x * 15 = (900/x) * x$

$15x = 900$

Ahora, podemos dividir ambos lados por 15 para aislar nuestro valor de $x$.

$15x = 900$

${15x}/15 = 900/15$

$x = 60$

Finalmente, reemplacemos este valor en nuestra ecuación original para verificar nuestra respuesta.

$(900/50) – 3 = 900/x$

$(900/50) – 3 = 900/60$

$15 = 15$

Hemos encontrado con éxito nuestro valor de $x$, que es el nuevo kilometraje por hora que la Sra. Lewis debe viajar.

Pero espera, ¡aún no hemos terminado! La pregunta nos pedía averiguar cuánto más rápido ella debe conducir, no las nuevas millas por hora a las que debe viajar. Esto significa que debemos tomar la diferencia de las millas por hora originales y las nuevas millas por hora.

$60 – 50 = 10$

Debe conducir 10 millas por hora más rápido para conducir la misma distancia en tres horas menos.

Entonces nuestra respuesta final es C, 10.

2) Aquí tenemos dos compañías de cable y nos dicen que debemos resolver para cuando sus tarifas sean iguales después de igual número de meses. Eso significa que tenemos una sola variable (el número de meses) y tenemos una ecuación porque estamos igualando cada lado (ya que la pregunta especifica que sus precios serán iguales después de un número desconocido de meses).

Uptown Cable tiene una tarifa plana de 120 dólares y una tarifa adicional de 25 dólares mensuales. La tarifa plana no cambiará (solo ocurre una vez), pero los 25 dólares se verán afectados por la cantidad de meses. Dado que el número de meses es nuestra variable desconocida, démosle un valor de $x$.

Así que nuestra primera expresión se verá así:

$120 + 25x$

Ahora Downtown Cable tiene una tarifa plana de 60 dólares (solo ocurre una vez) y una tarifa mensual de 35 dólares. Estamos tratando de encontrar el igual número de meses para un paquete de Cable Downtown y un paquete de Cable Uptown, por lo que nuestra variable, $x$, seguirá siendo la misma. Así que nuestra segunda expresión se verá así:

$60 + 35x$

Ahora igualamos las dos expresiones entre sí. (¿Por qué? Porque se nos dice que los precios serán iguales después de un cierto número de meses).

$120 + 25x = 60 + 35x$

Ahora resolvemos desplazando los términos de cada lado de la ecuación. Primero, combinemos nuestros términos variables restando 25x de cada lado.

$120 + 25x – 25x = 60 + 35x – 25x$

$120 = 60 + 10x$

Ahora, restemos 60 de cada lado.

$120 – 60 = 60 – 60 + 10x$

$60 = 10x$

Y finalmente, aislemos nuestra variable.

$60/10 = {10x}/10$

$6 = x$

Entonces nuestra respuesta final es G, en exactamente 6 meses, los precios de cada paquete de cable serán iguales.


3) Esta pregunta se basa en la manipulación de fracciones. Si este proceso no te resulta familiar, definitivamente consulta nuestra guía de fracciones y proporciones ACT. Si esto es familiar para usted, entonces sigamos adelante.

${1/3}k + {1/4}k =1$

Debemos encontrar un denominador común de las dos fracciones para poder combinar nuestros términos semejantes. En este caso, el mínimo común divisor de 3 y 4 es 12. (Para obtener más información sobre este proceso, consulte nuestra guía de fracciones y razones ACT).

${4/12}k + {3/12}k = 1$

${7/12}k = 1$

Ahora tenemos un número (7)…

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