Cómo integrar por partes: fórmula y ejemplos

Las antiderivadas pueden ser lo suficientemente difíciles de resolver por sí solas, pero cuando tienes dos funciones multiplicadas juntas de las que necesitas sacar la antiderivada, puede ser difícil saber por dónde empezar. ¡Ahí es donde entra la fórmula de integración por partes!

Esta práctica fórmula puede hacer que tu tarea de cálculo sea mucho más fácil al ayudarte a encontrar antiderivadas que, de otro modo, serían difíciles de resolver y llevarían mucho tiempo. En esta guía, explicaremos la fórmula, lo guiaremos a través de cada paso que debe seguir para integrar por partes y resolveremos problemas de ejemplo para que usted mismo pueda convertirse en un experto en integración por partes.

¿Qué es la fórmula de integración por partes?

La integración por partes es una técnica utilizada en cálculo para encontrar la integral de un producto de funciones en términos de la integral de su derivada y antiderivada. Básicamente, si tienes una ecuación con la antiderivada de dos funciones multiplicadas juntas y no sabes cómo encontrar la antiderivada, la fórmula de integración por partes transforma la antiderivada de las funciones en una forma diferente para que sea más fácil encontrar la simplificada. /resolver. Aquí está la fórmula:

∫ f(x)g'(x) dx = f(x)g(x) − ∫ f'(x)g(x) dx

Empiezas con el lado izquierdo de la ecuación (la antiderivada del producto de dos funciones) y lo transformas al lado derecho de la ecuación.

La fórmula de integración por partes también se puede escribir de manera más compacta, con u sustituida por f(x), v sustituida por g(x), dv sustituida por g'(x) y du sustituida por f'(x):

∫ tu dv = uv − ∫ v du

Puedes usar la integración por partes cuando tienes que encontrar la antiderivada de una función complicada que es difícil de resolver sin descomponerla en dos funciones multiplicadas entre sí. Puede que no parezca una fórmula increíblemente útil al principio, ya que ninguno de los lados de la ecuación está significativamente más simplificado que el otro, pero a medida que trabajemos con ejemplos, verá cuán útil puede ser la fórmula de integración por partes para resolver antiderivadas.

Cómo resolver problemas usando integración por partes

Hay cinco pasos para resolver un problema usando la fórmula de integración por partes:

#1: Elige tu u y v

#2: Diferenciar u para encontrar du

#3: Integre v para encontrar ∫v dx

#4: Introduce estos valores en la ecuación de integración por partes

#5: Simplifica y resuelve

Puede parecer complicado integrar por partes, pero usar la fórmula es bastante sencillo. Los primeros tres pasos tienen que ver con elegir/encontrar las diferentes variables para que puedan conectarse a la ecuación en el paso cuatro. Tendrá que tener una comprensión sólida de cómo diferenciar e integrar, pero si los tiene, esos pasos son fáciles.

En general, su objetivo es que du sea más simple que u y que la antiderivada de dv no sea más complicada que v. Básicamente, desea que el lado derecho de la ecuación sea lo más simple posible para que le resulte más fácil. para simplificar y resolver. Sin embargo, no se preocupe demasiado por elegir su u y v. Si sus primeras elecciones no funcionan, simplemente cámbielas e intégrelas por partes con su nueva u y v para ver si eso funciona mejor.

Una vez que tenga sus variables, todo lo que tiene que hacer es simplificar hasta que ya no tenga antiderivadas, ¡y ya tienes tu respuesta! Siga leyendo para ver cómo usamos estos pasos para resolver problemas de muestra reales.

Ejemplos de integración por partes

Aquí hay tres ejemplos de problemas de diferente dificultad. Intente resolver cada uno usted mismo, luego observe cómo usamos la integración por partes para obtener la respuesta correcta.

Ejemplo #1: Encuentra ∫ xsen(x) dx

Si tuviera que mirar este problema, es posible que no tenga idea de cómo tomar la antiderivada de xsen(x). ¡Aquí es donde entra la integración por partes! El primer paso es seleccionar su u y dv. Con «x» como u, es fácil obtener du, así que empecemos por ahí.

tu = x

dv= sen(x)

Para los pasos 2 y 3, derivaremos u e integraremos dv para obtener du y v. La derivada de x es dx (¡fácil!) y la antiderivada de sin(x) es -cos(x).

du = dx

v= -cos(x)

Ahora es el momento de introducir esas variables en la fórmula de integración por partes: ∫ u dv = uv − ∫ v du. Esto nos da:

∫ xsen(x) dx = x(-cos(x)) – ∫ -cos(x) dx

Luego, calcula el lado derecho de la ecuación para simplificarla. Primero reparte los negativos:

= -xcos(x) + ∫ cos(x) dx

La antiderivada de cos(x) es sin(x), y no olvides agregar la constante arbitraria, C, al final:

= -xcos(x) + sen(x) + C

¡Eso es todo, encontraste la antiderivada!

Ejemplo #2: Encuentra ∫ x2 ln(x) dx

Nuevamente, primero elegiremos au y a dv.

u= ln(x)

dv= x2

Luego usaremos esa información para determinar du y v. La derivada de ln(x) es (1/x) dx, y la antiderivada de x2 es (⅓)x3.

du= (1/x) dx

v= (⅓)x3

Ahora que tenemos todas las variables, integrémoslas en la ecuación de integración por partes:

∫x2ln(x)dx=ln(x)⋅(⅓)x3−∫(⅓)x3⋅(1/x) dx

¡Todo lo que queda ahora es simplificar! Primero multiplica todo:

= (x3 ln(x))/3 – ∫x2/3 dx

Luego toma la antiderivada de ∫x2/3. Agregue la constante y listo; no quedan más antiderivadas en la ecuación:

= (x3 ln(x))/3 – (1/9)x3 + C

Ejemplo #3: Encuentra ∫ ex sin(x) dx

Nuevamente, elija au y a dv:

u= sen(x)

dv = ex

Encuentre du y v (la derivada de sin(x) es cox(x) y la antiderivada de ex sigue siendo ex.

du= cos(x)

v= ex

Introduce esas variables en la ecuación:

∫ex sen(x) dx = sen(x) ex -∫cos(x) ex dx

Las cosas todavía están bastante desordenadas, y la parte de la ecuación «∫cos(x) ex dx» todavía tiene dos funciones multiplicadas juntas. A veces, cuando usa la fórmula de integración por partes y las cosas se ven tan complicadas como antes, con dos funciones multiplicadas juntas, puede ser útil usar la integración por partes nuevamente. Vamos a intentarlo.

Concentrándose solo en la parte “∫cos(x) ex dx” de la ecuación, elija otra u y dv. La derivada de cos(x) es -sin(x), y la antiderivada de ex sigue siendo ex (¡al menos eso es fácil!).

u= cos(x)

dv = ex

du= -sen(x)

v= ex

Introduce estas nuevas variables en la fórmula de nuevo:

∫ex sin(x) dx = sin(x) ex – (cos(x) ex −∫−sin(x) ex dx)

Ahora simplifica:

∫ex sen(x) dx = ex sen(x) – ex cos(x) −∫ ex sen(x)dx

Podemos mover el “−∫ ex sin(x)dx” del lado derecho de la ecuación hacia el lado izquierdo:

2∫ex sen(x) dx = ex sen(x) − ex cos(x)

Simplifique esto nuevamente y agregue la constante:

∫ex sin(x) dx = ex (sin(x) – cos(x)) / 2 + C

No hay más antiderivadas en el lado derecho de la ecuación, ¡así que ahí está tu respuesta! Pudimos encontrar la antiderivada de esa ecuación desordenada trabajando con la fórmula de integración por partes dos veces.

Resumen: Cómo integrar por partes

La fórmula de integración por partes puede ser una excelente manera de encontrar la antiderivada del producto de dos funciones de las que, de otro modo, no sabrías cómo sacar la antiderivada. Necesitarás tener un conocimiento sólido de derivadas y antiderivadas para poder usarla, pero es una fórmula sencilla que puede ayudarte a resolver varios problemas matemáticos. Los pasos son: