La geometría puede ser divertida, pero también puede causarle un gran dolor de cabeza si no está seguro de qué fórmulas usar o cómo abordar un problema.
Los triángulos especialmente tienen muchas cualidades y fórmulas únicas que necesita conocer, incluida la fórmula del área del triángulo. ¿Cómo puedes calcular el área de un triángulo? No es tan simple como lo es para los rectángulos.–pero tampoco es tan difícil como podría pensar.
En esta guía, repasaremos cómo encontrar el área de un triángulo y le daremos ejemplos de problemas y consejos que puede utilizar para mejorar aún más sus habilidades.
Revisión rápida: ¿Qué es el área?
El área es el cantidad total de espacio que ocupa una forma bidimensional (o superficie plana). Cada forma en matemáticas–es decir, cada cuadrado, rectángulo, triángulo, paralelogramo, trapezoide, etc.–tiene un área, o una cierta cantidad de espacio que ocupa.
El área está determinada por las longitudes de los lados particulares de una forma y siempre se da en unidades cuadradas, que pueden ser unidades generales o cosas como pies, pulgadas, metros o millas.
El área de un rectángulo, por ejemplo, es igual a la longitud multiplicada por el ancho, o, como algunos dirían, la base multiplicada por la altura:
También puedes simplemente contar el número de unidades en el rectángulo (si se incluye):
Entonces, en este ejemplo, si contaras cada unidad (es decir, cada cuadrado) en el rectángulo, obtendrás 10 unidades cuadradas para el área del rectángulo. Sin embargo, la otra opción (mucho más rápida) para encontrar el área de un rectángulo es multiplique la longitud (5 unidades) por el ancho (2 unidades); esto también te dará 10.
Así es como hallar el área de un rectángulo.—Bastante simple, de verdad. Pero encontrar el área de un triángulo es un poco más complicado. Para esto, necesitará conocer el fórmula del área del triángulo.
Fórmula del área del triángulo
Para encontrar el área de un triángulo, deberá usar la siguiente fórmula:
$ A = 1 / 2bh $
A es el área, B es la base del triángulo (generalmente el lado inferior), y h es la altura (una línea recta perpendicular trazada desde la base hasta el punto más alto del triángulo). Esta fórmula también se puede escribir así:
$ A = {bh} / 2 $
Aquí hay un diagrama para ayudarlo a visualizar esta fórmula en juego:
Esta fórmula funciona para todo tipo de triángulos:
Equilátero: Un triángulo cuyos tres lados tienen la misma longitud.
Isósceles: Un triángulo cuyos dos lados tienen la misma longitud.
Escaleno: Un triángulo en el que los tres lados difieren en longitud.
Correcto: Un triángulo isósceles o escaleno con un ángulo recto (90 °)
Con triángulos rectángulos, la base y la altura son simplemente los dos lados que forman el ángulo recto.
Ahora, probablemente se esté preguntando cómo funciona exactamente la fórmula del área del triángulo. En realidad, es bastante simple: todos los triángulos se pueden inscribir en un rectángulo. Este rectángulo siempre tienen el doble de área que la del triángulo inscrito en él.
En resumen, para encontrar el área de un triángulo, todo lo que necesita hacer es tome el área de una fórmula rectangular ($ A = bh $) y divídala por 2.
Khan Academy tiene una ingeniosa herramienta de arrastre que le permite ver cómo se encuentra el área de un triángulo usando el rectángulo / paralelogramo en el que está inscrito.
Veamos un ejemplo. Digamos que le han pedido que encuentre el área del siguiente triángulo (no dibujado a escala):
Aquí, se nos dice que la base de nuestro triángulo es 5 y la altura es 6. Entonces, para encontrar el área, todo lo que tenemos que hacer es reemplazar estos números en la fórmula del área de la siguiente manera:
$ A = 1 / 2bh $
$ A = 1/2 (5) (6) $
$ A = 15 $
Esto nos da un área de 15 unidades cuadradas para el triángulo. Este es un ejemplo bastante sencillo de cómo funciona la fórmula del área del triángulo. ¡Sigue leyendo para ver más ejemplos de problemas!
Tiempo para problemas de muestra, que no son tan fáciles como estos.
Área de un triángulo: problemas de muestra
Intente encontrar el área de un triángulo con estos tres problemas de muestra. Luego repasaremos las respuestas para cada problema. Tenga en cuenta que ninguno de estos triángulos está dibujado a escala.
# 1
# 2
# 3
Respuestas
18 12,5 16√3
Explicaciones de respuesta
# 1
Debería poder decir de inmediato que se trata de un triángulo escaleno, lo que significa que todos los lados tienen diferentes longitudes y que hay sin ángulo recto (a diferencia del triángulo en el n. ° 2 a continuación).
Afortunadamente, tienes toda la información que necesitas para encontrar el área del triángulo. Se nos dice que la base es 9 y la altura es 4 (recuerde que la altura es la línea que es perpendicular al vértice, o punto más alto, del triángulo y la base).
Ahora, simplemente inserta estos números en la fórmula del área del triángulo:
$ A = 1 / 2bh $
$ A = 1/2 (9) (4) $
$ A = 18 $
El área del triángulo aquí es 18 unidades cuadradas.
# 2
Debería notar dos cosas antes de intentar resolver el área:
Es un triángulo rectángulo, como lo indica el pequeño cuadrado en la esquina inferior izquierda Es un triángulo isósceles ya que tiene dos lados de igual longitud (5 y 5)
Recuerda que con triángulos rectángulos, la base y la altura son siempre los dos lados que están no la hipotenusa. En otras palabras, son los dos lados que se conectan para formar un ángulo recto. Esto significa que, para este problema, nuestra base es 5 y nuestra altura también es 5.
No se deje engañar por la raíz cuadrada aquí, es solo información adicional que ni siquiera necesita para encontrar el área de un triángulo.
Ahora que conocemos nuestra base y altura, simplemente podemos insertar estos números en el área de la fórmula de un triángulo rectángulo:
$ A = 1 / 2bh $
$ A = 1/2 (5) (5) $
$ A = 12,5 $
El área de este triángulo es 12,5 unidades cuadradas.
El siguiente problema de muestra es un poco más complicado que los otros dos.
# 3
Con este problema, probablemente notó de inmediato que no te dicen la altura del triángulo, solo las longitudes de los tres lados; También debería haber reconocido este triángulo en particular como un triángulo equilátero, ya que los tres lados tienen la misma longitud (8 unidades).
Entonces, ¿cómo aborda este problema para encontrar el área del triángulo?
Para encontrar el área, necesitamos conocer la base y la altura. Como ya tenemos la base (8), tendremos que encontrar la altura.
Comience dibujando una línea vertical que disecciona el triángulo desde su vértice hasta la base:
Como este es un triángulo equilátero, la línea que dibujamos para la altura diseccionará el triángulo por la mitad, cortando así la base a la mitad también. Esto significa que tendremos 4 en un lado de la línea de altura y 4 en el otro:
Ahora, observe de cerca este triángulo equilátero. Parece como dos triángulos rectángulos unidos, ¿verdad? ¡Eso es porque lo es! Por lo tanto, podemos usa uno de estos triángulos rectángulos para encontrar la longitud de la línea de altura.
Usemos el lado derecho (no importa cuál elijas):
Conocemos la longitud de la base (lo que llamaremos a) de este triángulo rectángulo, así como la longitud de la hipotenusa, o C. La altura, o B, sin embargo, se desconoce.
Entonces, ¿cómo podemos usar la información que tenemos para calcularlo?
Aquí es donde entra en juego otra fórmula: el teorema de Pitágoras. Según el teorema de Pitágoras, elevando los lados al cuadrado a y B (es decir, los dos lados más cortos) de un triángulo rectángulo y luego sumarlos, obtendrá una suma igual al cuadrado de la hipotenusa (lado C).
En otras palabras:
$ a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 $
Como se mencionó, tenemos a y c, por lo que solo necesitamos usar este teorema para encontrar B (o h en nuestro triángulo equilátero original). He aquí cómo hacerlo:
$ a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 $
$ 4 ^ 2 + b ^ 2 = 8 ^ 2 $
$ 16 + b ^ 2 = 64 $
$ b ^ 2 = 48 $
$ b = √ {48} $
Puedes más simplificar la raíz cuadrada factorizando 48 de esta manera:
$ b = √ {48} $
$ b = √ {(3 * 4 * 4)} $
$ b = √ {(3 * 4 ^ 2)} $
$ b = 4√3 $
Ahora, finalmente tenemos la altura de nuestro triángulo equilátero (4√3):
Todo lo que queda por hacer es conectar la base (8) y la altura (4√3) en nuestra fórmula del área del triángulo:
$ A = 1 / 2bh $
$ A = 1/2 (8) (4√3) $
$ A = 4 (4√3) $
$ A = 16√3 $
El área de este triángulo equilátero es 16√3 unidades cuadradas.
Cómo encontrar el área de un triángulo: 3 consejos
Encontrar el área de un triángulo puede ser complicado, incluso si conoces la fórmula. A veces puede ser difícil entender la lógica detrás de esto o averiguar qué información necesita.
En esta sección, te damos tres consejos que te ayudarán a encontrar el área de un triángulo con facilidad.
# 1: Visualice un rectángulo (o paralelogramo)
A menudo, puede ser útil visualizar el rectángulo o paralelogramo cuya área es igual al doble que la del triángulo que estás analizando.
El siguiente diagrama captura muy bien esta idea, indicando cómo si copia el triángulo y lo voltea, obtendrás un paralelogramo que equivale doble el área del triángulo original (desde $ A = bh $ para paralelogramos y rectángulos):
Herbee y Limaner / Wikimedia Commons
Además, si reorganiza las partes del segundo triángulo, puedes formar un rectángulo (en lugar de un paralelogramo) usando tanto el triángulo original como el nuevo.
Una vez más, lo que esto prueba es que el área de un triángulo siempre igual a la mitad del área del rectángulo en el que está inscrito.
# 2: Sepa cómo (y cuándo) utilizar el teorema de Pitágoras
Muchos problemas matemáticos relacionados con el área de un triángulo no se tratan solo de encontrar el área en sí, sino también de encontrar un lado o una longitud que faltan (generalmente la altura). En estos casos, necesitará saber algo más que cómo calcular el área de un triángulo; tendrás que conocer el teorema de Pitágoras.
Como se ha mencionado más arriba, el teorema de Pitágoras es una fórmula que se usa para encontrar las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo.
Aquí está el teorema una vez más:
$ a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 $
En esto, a es la longitud de un lado corto, B es la longitud del otro lado corto, y C es la longitud de la hipotenusa (es decir, la mas largo lado de un triángulo). Deberá usar el teorema de Pitágoras si está buscando tanto la altura como el área de un triángulo isósceles o equilátero.
# 3: En caso de duda, repase lo que ha aprendido
¡No hay que avergonzarse de refrescar la memoria u obtener ayuda! Si tiene dificultades para comprender cómo encontrar el área de un triángulo o cuándo y cómo usar el teorema de Pitágoras, yo recomiendo encarecidamente ver algunos videos tutoriales de matemáticas.
Aquí hay un ejemplo de un video que encontré particularmente útil mientras escribía este artículo:
También puede consultar academia Khan, un sitio web gratuito que ofrece una gran cantidad de videos, lecciones y problemas de práctica para una variedad de materias de matemáticas, incluidos triángulos y áreas.
Finalmente, lea nuestras guías de triángulos SAT Math / ACT Math para aprender más sobre los triángulos en general.
¿Que sigue?
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